Lời giải:

Không mất tổng quát, giả sử n chẵn.

Khi đó các hệ số bậc chẵn là: \(a_n, a_{n-2},...,a_0\), và các hệ số bậc lẻ là \(a_{n-1}, a_{n-3},...,a_1\). Theo bài ra ta có:

\(a_n+a_{n-2}+...+a_0=a_{n-1}+a_{n-3}+...+a_1(*)\)

Ta thấy \((-1)^k=\left\{\begin{matrix} \text{1 nếu k chẵn}\\ \text{-1 nếu k lẻ}\end{matrix}\right.\). Do đó:

\(F(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0x^0\)

\(\Rightarrow F(-1)=a_n(-1)^n+a_{n-1}(-1)^{n-1}+...+a_1(-1)+a_0\)

\(=a_n+(-1)a_{n-1}+a_{n-2}+(-1)a_{n-3}+....+(-1)a_1+a_0\)

\(=(a_n+a_{n-2}+...+a_0)-(a_{n-1}+a_{n-3}+...+a_1)\)

\(=0\) (do $(*)$)

Vậy \(F(-1)=0\), tức là $x=-1$ là nghiệm của đa thức $F(x)$

Gỉa sử P(x) có một nghiệm nguyên là \(x_0\left(x_0\ne0\right)\)

Ta có \(P\left(x\right)=a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+...+a_1x_0+a_0=0.\)

Như vậy \(P\left(x_0\right)=0⋮x_0\)và các số hạng \(a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+...+a_1x_0\)đều chia hết cho \(x_0\), suy ra \(a_0\)cũng phải chia hết \(x_0\)tức \(x_0\)là ước của \(a_0\)

Ta có \(f\left(7\right)=15\Rightarrow f\left(7\right)-15=0\Rightarrow f\left(x\right)-15=P\left(x\right).\left(x-7\right)\)

\(\Rightarrow f\left(15\right)-15=P\left(x\right).8\Rightarrow-15=P\left(x\right).8\Rightarrow P\left(x\right)=\dfrac{-3}{4}\). (vô lí vì P(x) có các hệ số đều nguyên).

Vậy...

- Nếu \(a_i=0\) ; \(\forall i\in\left(0;n-1\right)\Rightarrow a_nx^n=0\Rightarrow\alpha=0< 1\) thỏa mãn

- Nếu tồn tại \(a_i\ne0\), đặt \(max\left|\dfrac{a_i}{a_n}\right|=A>0\)

Do \(\alpha\) là nghiệm nên:

\(a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+...+a_1\alpha+a_0=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a_0}{a_n}+\dfrac{a_1}{a_n}\alpha+...+\dfrac{a_{n-1}}{a_n}\alpha^{n-1}=-\alpha^n\)

\(\Leftrightarrow\left|\alpha^n\right|=\left|\dfrac{a_0}{a_n}+\dfrac{a_1}{a_n}\alpha+...+\dfrac{a_{n-1}}{a_n}\alpha^{n-1}\right|\)

\(\Rightarrow\left|\alpha^n\right|\le\left|\dfrac{a_0}{a_n}\right|+\left|\dfrac{a_1}{a_n}\right|.\left|\alpha\right|+...+\left|\dfrac{a_{n-1}}{a_n}\right|.\left|\alpha^{n-1}\right|\le A+A.\left|\alpha\right|+...+A.\left|\alpha^{n-1}\right|\)

\(\Rightarrow\left|\alpha^n\right|\le A\left(1+\left|\alpha\right|+\left|\alpha^2\right|+...+\left|\alpha^{n-1}\right|\right)\)

\(\Rightarrow\left|\alpha^n\right|\le A.\dfrac{\left|\alpha^n\right|-1}{\left|\alpha\right|-1}\)

TH1: Nếu \(\left|\alpha\right|\le1\) hiển nhiên ta có \(\left|\alpha\right|< 1+A\) (đpcm)

TH2: Nếu \(\left|\alpha\right|>1\)

\(\Rightarrow\left|\alpha^n\right|\le\dfrac{A.\left|\alpha^n\right|}{\left|\alpha\right|-1}-\dfrac{A}{\left|\alpha\right|-1}< \dfrac{A.\left|\alpha^n\right|}{\left|\alpha\right|-1}\)

\(\Leftrightarrow\left|\alpha\right|-1< A\Rightarrow\left|\alpha\right|< 1+A\) (đpcm)